çok katlı ne demek?

Çok katlı, topolojide soyut topolojik bir uzay. Bu uzayın her noktasının çevresi Öklit uzayına benzer. Bununla birlikte, çok katlı bir Öklit uzayı olmak zorunda değildir. Genel yapısı, bu basit yerel yapısından çok daha karmaşık olabilir. Çok katlının boyutu, yerel olarak benzediği Öklit uzayının boyutu olarak tanımlanır. Herhangi bir topolojik uzay içinse boyut kavramından söz etmek genelde olası değildir.

n boyutlu Öklit uzayı (Rn), n boyutlu bir çok katlıdır. Birkaç nokta, 0 boyutlu birçok katlıdır. Düzlemde bir doğru 1 boyutlu birçok katlıdır; her noktasının çevresi R1'e benzer. R3'te bir düzlem ya da bir küre, 2 boyutlu çok katlı örneğidir; her bir noktasının küme içinde çevresi R2'ye benzer.

Kelimenin kökeni

Çok katlı kelimesinin Almanca karşılığı 'tir (çokyönlülük, çeşitlilik vs.). Bu terim, ilk kez Riemann'ın doçentlik tezinde (Habilitation, 1854) kullanmıştır. Yerel olarak n boyutlu uzaya benzeyen, ama her noktasında farklı eğriliklere sahip olabilecek bir uzay tasarlamış ve bu tür bir uzaya adını vermiştir. Doçentlik tezinde şu satırlar dikkat çekmektedir: ¹

Görüldüğü gibi Riemann, bu terimi tanımlarken daha sonra Riemann Geometrisi diye anılacak geometriyi kuruyordu. Kullandığı ** eki, kat kat hissinden çok eğriliğin değişmesi yüzünden uzamın bükülüp kırışmasına işaret ediyordu. William Kingdon Clifford 1873'te Nature{{'}}da yayımlanan tercümesinde bu kelime "" olarak karşılamıştır.² Türkçeye çeviri bu kelime üzerinden yapılmıştır.

Fransızca ** terimi ise (İngilizcedeki ** terimi gibi) cebirsel geometride analitik çok katlılara işaret eder.

Matematiksel tanım

(Kenarı olmayan) n boyutlu çok katlı, aşağıdaki koşulları sağlayan bir topolojik uzaydır:

Hausdorff'tur;
Herhangi bir noktasının çevresinde öyle bir açık komşuluk bulunabilir ki bu komşuluk Rn'nin açık bir alt kümesine homeomorfiktir;
(Kimi tanımlarda) İkinci sayılabilirlik özelliğini sağlar;
(Kimi tanımlarda) Parakompakttır.

Yukarıdaki <s>tanımda</s> ikinci koşulda, kenarı ola ikinci koşulda Rn yerine, üst yarı Öklit uzayını (yani Rn'de sonuncu koordinatı negatif olmayan noktaların kümesi) temsil etmek üzere Hn konn (kenarlı) topolojik birçok katlı tanımına dönüşür. Bu durumda ikinci koşulda homeomorfizma kelimesinin anlamlı olabilmesi için Hn üzerinde bir topoloji bulunması gerekir. Bu topoloji standart olarak Rn'den tetiklenen topolojidir. M çok katlısının bir noktası x, Hn'de açık V kümesine homeomorfik x 'in açık komşuluğu U olsun. Bu homeomorfizma altında x, V 'nin kenarına gönderiliyorsa, x noktasına çok katlının kenar noktası, tüm kenar noktaların kümesine çok katlının kenarı denir.

Örneğin, düzlemde başnoktaya uzaklıkları 1'den büyük olmayan kümeyi ele alalım. Bu kümeye (kapalı) disk denir ve 2 boyutlu bir çok katlıdır. Kenarı bir çemberdir. Çember 1 boyutlu bir çok katlıdır. Kenarı yoktur.

n boyutlu, kenarlı bir çok katlının kenarı, n-1 boyutlu bir çok katlıdır. Bir çok katlının kenarının kenarı yoktur (boşkümedir).

Bir çok katlının içinde bir topolojik altuzay aynı zamanda bir çok katlıysa, bu altuzaya alt çok katlı denir. Yukarıda bir çok katlının içinde verilen tüm çok katlılar alt çok katlı örnekleridir.